$\{o, x, e, c, y, xy\}$ の四角形性を与える四角形 $\square(q, r, s, t)$ を取る.
$m := (e\vee r)\cap (s\vee t), l := (o\vee r)\cap(z\vee m)$ とすると $\square(r, m, l, s)$ が $\{o, y, e, c, z, yz\}$ の四角形性を与える.
$w := (o\vee c)\cap(t\vee l)$ と置くと, $\square(q, l, s, t)$ が $\{o, x, e, c, yz, w\}$ の, $\square(r, l, m, t)$ が $\{o, xy, e, c, z, w\}$ の四角形性をそれぞれ与えるから $$(xy)z = w = x(yz).$$
特殊ケース [1] により $\{o, e, e, c, x, x\}$ は四角形性六点である. また特殊ケース [2] により $\{o, x, e, c, e, x\}$ も四角形性六点である. よって $ex = xe = x.$
特殊ケース [3] により $\{o, o, e, c, x, o\}$ は四角形性六点であるから $ox = o.$
一方, $o\vee c$ 上にない任意の点 $q$ を取り, $e\vee q$ 上に $e, q$ と異なる点 $s$ を取って $t := (c\vee s)\cap(x\vee q)$ とすれば $\square(q, s, t, o)$ は $\{o, x, e, c, o, o\}$ の四角形性を与えるから $xo = o.$
$x\ne o$ とし, $o\vee c$ 上にない任意の点 $q$ と $e\vee q$ 上の $e, q$ とは異なる点 $r$ を取って $s := (c\vee r)\cap(x\vee q), t := (o\vee q)\cap(e\vee s)$ とすれば $\square(q, r, s, t)$ は $\{o, x, e, c, y, e\}$ と $\{o, y, e, c, x, e\}$ の四角形性を与える. よって $xy = yx = e.$
直線 $l$ 上の標構 $\{o, c, e\}$ と $l$ 上にない任意の点 $q$ を取る. 平面 $l\vee q$ 上に $o$ を通る直線 $g(\ne l, o\vee q)$ もしくは $c$ を通る直線 $h(\ne l, c\vee q)$ を取る. このとき適当な点 $r$ を取れば, 次のような射影変換 $\varphi : l\to l$ を作ることができる.
任意の点 $a\in l\ (a\ne c, o)$ を取る. $c, q, r$ は共線とし, $$\varphi := \pi_{lg}(r)\circ\pi_{gl}(q), \varphi(e) = a$$ とすれば $\varphi(x) = ax\ (x\in l, x\ne c), \varphi(c) = c.$
任意の点 $a\in l\ (a\ne c, o)$ を取る. $o, q, r$ は共線とし, $$\varphi := \pi_{lh}(r)\circ\pi_{hl}(q), \varphi(e) = a$$ とすれば $\varphi(x) = xa\ (x\in l, x\ne c), \varphi(c) = c.$
直線 $k := o\vee q$ を取る. $e, q, r$ は共線で $r$ は直線 $h$ 上にあるとし $$\varphi := \pi_{lk}(r)\circ\pi_{kh}(e)\circ\pi_{hl}(q)$$ とすれば $\varphi(x) = x^{-1}\ (x\in l, x\ne o, c), \varphi(o) = c, \varphi(c) = o.$
積の定義の射影変換による言い換えである. $$s := (e\vee q)\cap g, r := (c\vee q)\cap(a\vee s), t := (x\vee q)\cap g$$ とすれば $\square(q, r, s, t)$ は四角形性六点 $\{o, a, e, c, x, \varphi(x)\}$ を与える. よって $\varphi(x) = ax$. また $$\begin{align} \varphi(c) &= \pi_{lg}(r)\circ\pi_{gl}(q)(c) \\ &= \pi_{lg}(r)((c\vee q)\cap g) \\ &= c. \end{align}$$
積の定義の射影変換による言い換えである. $$s := (e\vee q)\cap h, r := (o\vee q)\cap(a\vee s), t := (x\vee q)\cap h$$ とすれば $\square(q, r, s, t)$ は四角形性六点 $\{o, x, e, c, a, \varphi(x)\}$ を与える. よって $\varphi(x) = xa$. また明らかに $\varphi(c) = c$ である.
積の逆元の射影変換による言い換えである. $r := (e\vee q)\cap h$ と置けばよい. $$s := (q\vee x)\cap h, t := (e\vee s)\cap k$$ とすれば $\square(q, r, s, t)$ は四角形性六点 $$\{o, x, e, c, \varphi(x), e\}, \{o, \varphi(x), e, c, x, e\}$$ を与える. よって $\varphi(x) = x^{-1}$. また $$\begin{align} \varphi(o) &= \pi_{lk}(r)\circ\pi_{kh}(e)\circ\pi_{hl}(q)(o) \\ &= \pi_{lk}(r)\circ\pi_{kh}(e)(h\cap k) \\ &= \pi_{lk}(r)(h\cap k) \\ &= c, \\ \varphi(c) &= \pi_{lk}(r)\circ\pi_{kh}(e)\circ\pi_{hl}(q)(c) \\ &= \pi_{lk}(r)\circ\pi_{kh}(e)(c) \\ &= \pi_{lk}(r)(o) \\ &= o. \end{align}$$
