$\mathfrak{G} = (M, N, \mathit{\Gamma})$ を射影空間とする.
$\mathfrak{G}$ が Desargues 性を満たすとは以下のことを言う.
二つの三角形 $\mathit{\Delta}(a, b, c)$ と $\mathit{\Delta}(a', b', c')$ について, $\{a\vee a', b\vee b', c\vee c'\}$ が共点であるならば $$\{(a\vee b)\cap(a'\vee b'), (b\vee c)\cap(b'\vee c'), (c\vee a)\cap(c'\vee a')\}$$ は共線である.
次元が 3 以上の射影空間においては常に Desargues 性が満たされる.
$\mathit{\Delta}(a, b, c)$ を含む平面を $\pi$, $\mathit{\Delta}(a', b', c')$ を含む平面を $\pi'$ とする.
$a\vee a', b\vee b', c\vee c'$ が一点 $o$ で交わるとする. このとき PG2 により $a\vee b$ と $a'\vee b'$, $b\vee c$ と $b'\vee c'$, $c\vee a$ と $c'\vee a'$ は交わり, 三点 $$(a\vee b)\cap(a'\vee b'), (b\vee c)\cap(b'\vee c'), (c\vee a)\cap(c'\vee a')$$ は明らかに直線 $\pi\cap\pi'$ 上にある.
$o_1\not\in\pi$ なる点 $o_1$ を取る. このとき PG3 により, 直線 $o\vee o_1$ 上に $o$ とも $o_1$ とも異なる点 $o_2$ が取れる. $\mathit{\Delta}(o, o_1, a)$ に PG2 を適用することにより $o_2\vee a'$ と $o_1\vee a$ は交わるので, その交点を $a^*$ とする. 同様に $$b^* := (o_2\vee b')\cap (o_1\vee b), c^* := (o_2\vee c')\cap (o_1\vee c)$$ とおく.
$\mathit{\Delta}(a^*, b^*, c^*)$ を含む平面を $\pi^*$ とすれば $\pi^*\ne\pi$ である.
このとき $a\vee a^*, b\vee b^*, c\vee c^*$ は共点($o_1$)であり $\pi\ne\pi^*$ だから (a) により三点 $$p := (a\vee b)\cap(a^*\vee b^*), q := (b\vee c)\cap(b^*\vee c^*), r := (c\vee a)\cap(c^*\vee a^*)$$ は直線 $l := \pi\cap\pi^*$ 上にある.
$a'\vee a^*, b'\vee b^*, c'\vee c^*$ もまた共点($o_2$)であり $\pi'\ne\pi^*$ だから (a) により三点 $$p' := (a'\vee b')\cap(a^*\vee b^*), q' := (b'\vee c')\cap(b^*\vee c^*), r' := (c'\vee a')\cap(c^*\vee a^*)$$ も直線 $\pi'\cap\pi^* = \pi\cap\pi^* = l$ 上にある.
明らかに $$p = l\cap(a^*\vee b^*) = p', q = l\cap(b^*\vee c^*) = q', r = l\cap(c^*\vee a^*) = r'$$ なので三点 $$(a\vee b)\cap(a'\vee b') = p, (b\vee c\cap(b'\vee c') = q, (c\vee a)\cap(c'\vee a') = r$$ は直線 $l$ 上にある.
(証明終)
注意 : 上記の証明の仕方からわかるように, この定理は射影平面においては成り立たず, 実際に Desargues 性を満たさない射影平面(非 Desargues 平面)の存在が知られている.
Desargues 性が満たされる射影空間については, その逆が成り立つ.
三点 $$(a\vee b)\cap(a'\vee b'), (b\vee c)\cap(b'\vee c'), (c\vee a)\cap(c'\vee a')$$ を通る直線を $l$ とし, $\mathit{\Delta}(a, b, c)$ を含む平面を $\pi$, $\mathit{\Delta}(a', b', c')$ を含む平面を $\pi'$ とする.
$\pi\ne\pi'$ のとき, $\pi\cap\pi' = l$ であるから $$\begin{align}\mathrm{dim}(\pi\vee \pi') &= \mathrm{dim}(\pi) + \mathrm{dim}(\pi') - \mathrm{dim}(\pi\cap\pi') \\ &= \mathrm{dim}(\pi) + \mathrm{dim}(\pi') - \mathrm{dim}(l) \\ &= 2 + 2 - 1 = 3. \end{align}$$ 仮定により $a\vee b$ と $a'\vee b'$, $b\vee c$ と $b'\vee c'$, $c\vee a$ と $c'\vee a'$ が各々交わっているから, 各々が同じ平面上にある. そこで $\pi\vee\pi'$ に含まれるそれら三平面の交点を $o$ とすれば三直線 $a\vee a', b\vee b', c\vee c'$ の各々はその三平面のうちの二平面に含まれるからいずれも $o$ を通る.
$\pi=\pi'$ のとき, この定理は射影平面 $\pi$ における Desargues 性の双対に他ならない.
(証明終)