係数体

定理 9

直線 $l$ 上に標構 $\{o,c,e\}$, 直線 $l^{\prime }$ 上に標構 $\{o^{\prime },c^{\prime },e^{\prime }\}$ があるとき, 二つの Staudt 代数 $K(o,c,e),K(o^{\prime },c^{\prime },e^{\prime })$ は同型である.

証明

射影変換 $\phi :l\to l^{\prime }$ で $$\phi (o)=o^{\prime },\phi (c)=c^{\prime },\phi (e)=e^{\prime }$$ となるものがあり, 全単射 $\phi :K(o,c,e)\to K(o^{\prime },c^{\prime },e^{\prime })$ を導く. $\phi$ によって四角形性六点 $$\{c,x,o,c,y,x+y\},\{o,x,e,c,y,xy\}$$ はそれぞれ $$\{c^{\prime },\phi (x),o^{\prime },c^{\prime },\phi (y),\phi (x+y)\},\{o^{\prime },\phi (x),e^{\prime },c^{\prime },\phi (y),\phi (xy)\}$$ に写るから $$\phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y),\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$$ が成り立ち, $\phi$ は体の同型となる.

(証明終)

定義 7

定理 9 により, 射影空間の全ての Staudt 代数は互いに同型である. 射影空間の Staudt 代数に同型となる抽象的な体を射影空間の係数体という.

定理 10

直線 $l$ の標構 $\{o,c,e\}$ を動かさない射影変換 $\phi :l\to l$ は $K(o,c,e)$ の内部自己同型に限る.

証明

内部自己同型が条件を満たす射影変換となることは定理 8 よりわかる.

逆に標構を動かさない射影変換が内部自己同型であることは証明が長くなるので省略する. 詳しくは参考文献 [1] などを参照のこと.

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