モジュラー束と特徴づけ

定義

一般の束において

• (M₁') $x\cup (y\cap (x\cup z))\le (x\cup y)\cap (x\cup z)$
• (M₂') $(x\cap y)\cup (x\cap z)\le x\cap (y\cup (x\cap z))$
• (M₃') $x\le z⟹x\cup (y\cap z)\le (x\cup y)\cap z$

は常に成り立っていることは既に見たが

• (M₁) $x\cup (y\cap (x\cup z))=(x\cup y)\cap (x\cup z)$
• (M₂) $(x\cap y)\cup (x\cap z)=x\cap (y\cup (x\cap z))$
• (M₃) $x\le z⟹x\cup (y\cap z)=(x\cup y)\cap z$

のうちのどれか一つでも成り立っていれば全て成り立つ. 実際 $x\le z$ なる任意の $z$ は $z=x\cup z^{\prime }$ と置けることから M₁ と M₃ は同等である. 双対的に M₂ と M₃ も同等であるから, 結局全て同等である.

束 $\mathcal{L}$ が M₁, M₂, M₃ のうちいずれか一つ(従って全て)を満たすとき, $\mathcal{L}$ はモジュラー束であると言う.

M₁ と M₂ は互いに双対, M₃ は自己双対であるから, $\mathcal{L}$ がモジュラー束ならばその双対束 ${\mathcal{L}}^{\ast }$ もモジュラー束である. 故にモジュラー束において成り立つ関係式についてはその双対が成り立つ.

特徴づけ

定理1

束 $\mathcal{L}$ がモジュラー束であるための必要十分条件は, 以下の Hasse 図で表現される部分束が存在しないことである.

(証明)

図のような部分束が存在すれば, $a<b$ ¹であるにも関わらず $$a\cup (c\cap b)=a\cup e=a<b=f\cap b=(a\cup c)\cap b$$ だから $\mathcal{L}$ はモジュラー束ではない.

逆に $\mathcal{L}$ がモジュラー束でなければ $$x<z,x\cup (y\cap z)<(x\cup y)\cap z$$ となる $x,y,z$ が存在する. そこで $$e=y\cap z,f=x\cup y,a=x\cup e,b=z\cap f$$ と置くと $$e\le a<b\le f,e\le y\le f$$ であるから $$e\le a\cap y\le b\cap y=f\cap z\cap y=f\cap e=e,$$ 従って $$a\cap y=b\cap y=e.$$ 双対的に $$f\ge b\cup y\ge a\cup y=e\cup x\cup y=e\cup f=f$$ なので $$a\cup y=b\cup y=f.$$

このとき $y$ は $a,b$ と比較不能である. 仮に $y\le a$ ならば $a=a\cup y=f$ となり矛盾. $a\le y$ としても $e=a,f=y$ となるので $b\le y$ となり $b=e$ が導かれるので矛盾する. 双対的に $b$ も $y$ と比較不能である.

以上を Hasse 図にすると下図のようになるので十分性も示された.

(証明終)

1. $a\le b$ かつ $a\ne b$ を一般に $a<b$ と表す.

戻る