1. 任意の $x, y, z$ に対して $$x\cap y\le x\le x\cup z$$ である.
2. 結合律により $(x\cup y)\cup z = x\cup(y\cup z)$ であったから, これを単に $x\cup y\cup z$ と書く. このとき $$x\cup y\cup z = \sup\{x, y, z\}$$ である. 同様に $$x\cap y\cap z = \inf\{x, y, z\}.$$
一般に $$\bigcup_{i=1}^m x_i := x_1\cup\dots\cup x_m = \sup\{x_1, \dots, x_m\},$$ $$\bigcap_{j=1}^n y_j := y_1\cap\dots\cap y_n = \inf\{y_1, \dots, y_n\}$$ と書く.
明らかに $$x_i\le y_j\ (i = 1, \dots, m;\ j = 1, \dots, n)\Longrightarrow \bigcup_{i=1}^m x_i\le\bigcap_{j=1}^n y_j$$ が成り立つ.
3. $x\le y\Rightarrow x\cup z\le y\cup z, x\cap z\le y\cap z.$ (単調性)
実際 $x\le y$ ならば $(x\cup z)\cup(y\cup z) = x\cup y\cup z = y\cup z$. もう一方も同様に示される.
$$\begin{alignat}{3} x\cap y &\le x\cup y,\quad & x\cap y &\le y\cup z,\quad & x\cap y &\le z\cup x, \\ y\cap z &\le x\cup y,\quad & y\cap z &\le y\cup z,\quad & y\cap z &\le z\cup x, \\ z\cap x &\le x\cup y,\quad & z\cap x &\le y\cup z,\quad & z\cap x &\le z\cup x \end{alignat}$$ から.
$x\le z$ ならば $z\cap x = x, z\cup x = z$ となるので (1) により $$\begin{align} x\cup(y\cap z) &= (x\cap y)\cup(y\cap z)\cup x \\ &\le (x\cup y)\cap(y\cup z)\cap z \\ &= (x\cup y)\cap z. \end{align}$$
前半は単調性から, 後半は (1) で $z\mapsto x\cup z.$
(3) の双対である.