$|G| = pq$ のとき, Sylow の定理により $G$ の Sylow $q$-部分群 $N$ が存在し, かつただ一つである. 従ってこれは正規部分群である.
このときは Sylow $p$-部分群 $H$ もただ一つしか存在しないので $H$ も正規部分群であり, $G = H \times N$ と直積に分解する. 故に $$G = H \times N \cong C_p \times C_q \cong C_{pq}.$$
$G = C_{pq}$
$G$ の Sylow $p$-部分群の一つを $H$ とする. このとき $HN$ は $G$ の部分群で, かつ $H \cap N = 1$ なので, 位数の関係から $G = HN$ となり, $G$ は $N$ の $H$ による半直積となる.
$H = \langle y \rangle, N = \langle x \rangle$ とし, 半直積 $$H \ni y \mapsto (x \mapsto y^{-1}xy = x^r) \in \mathrm{Aut}(N)$$ を決定したい. ここに $r$ は ${\mathbb{F}_q}^\times \cong \mathrm{Aut}(N)$ の元として考える.
$r \equiv 1 \pmod {q}$ のときは半直積は自明(直積)である. ${\mathbb{F}_q}^\times$ は $(q - 1)$ 次巡回群で $p | (q - 1)$ であることから, $r \not\equiv 1 \pmod {q}$ かつ $r^p \equiv 1 \pmod {q}$ となる $r \in {\mathbb{F}_q}^\times$ が存在する. 一般には複数存在するが, $H$ の生成元の取り換えによって同一のものとみなせるので, 対応する同型類は一つしか現れない.
特に $p = 2$ のときに現れる非可換群 $$D_{2q} = \langle x, y | x^q = y^2 = 1, y^{-1}xy = x^{-1} \rangle$$ は二面体群である.