$|G| = 2pq$ のとき, Sylow の定理により $G$ の Sylow $p$-部分群 $H$ が存在する. また, Sylow $q$-部分群 $N$ も存在する. このとき $H, N$ の少なくとも一方は正規部分群になる. なぜなら, どちらも正規でないとすると位数がちょうど $p$ の元が少なくとも $q(p - 1)$ 個, 位数ががちょうど $q$ の元が $2p(q - 1)$ 個存在するため, 群の位数を超えてしまう.
$H, N$ の少なくとも一方は正規部分群なので, $HN$ は $G$ の部分群で位数は $pq$ である. 従って $HN$ は指数 $2$ の部分群だから正規部分群である.
このとき $HN \cong C_{pq} \cong C_p \times C_q$ である. 半直積 $G \cong C_2 \rtimes_\varphi C_{pq}$ を決定する準同型 $$\varphi \colon C_2 \to \mathrm{Aut}(C_{pq}) \cong \ \mathrm{Aut}(C_p) \times \mathrm{Aut}(C_q) \cong C_{p - 1} \times C_{q - 1}$$ の位数 $2$ の元を考えることで, 自明な半直積の場合を含め以下の四通りが考えられる. 中心を考えることにより, これらは互いに同型でないことがわかる.
$H$ が正規の場合は $HN \cong C_{pq}$ となるので上記の場合に帰着される.
$N$ が正規の場合, 短完全列 $$\{ 1 \} \to N \to G \to G/N \to \{ 1 \}$$ は $|N| = q$ と $|G/N| = 2p$ が互いに素なので分裂する. 従って $G/N$ に同型な $G$ の部分群 $K$ が存在して $G \cong N \rtimes K$ となる.
$$N = \langle a \ | \ a^q = 1 \rangle, K = \langle b, c \ | \ b^p = c^2 = 1, bc = cb \rangle$$ とおく.
非自明な半直積を決定するため, 準同型 $$\varphi \colon K \to \mathrm{Aut}(N) \cong C_{q - 1}$$ を考える.
$\varphi(b)$ が自明で $\varphi(c)$ が非自明の場合は, 簡単な考察で $G \cong C_p \times D_{2q}$ となる.
$\varphi(b)$ が非自明で $\varphi(c)$ が自明の場合. $$r^p \equiv 1, r \not\equiv 1 \pmod{q}$$ となる $r$ を一つ取る. 小さい位数の具体例を挙げておく.
| $G$ の位数 | $p$ | $q$ | $r$ |
|---|---|---|---|
| 42 | $3$ | $7$ | $2, 4$ |
| 78 | $3$ | $13$ | $3, 9$ |
| 110 | $5$ | $11$ | $3, 4, 5, 9$ |
| 114 | $3$ | $19$ | $7, 11$ |
$$G = \langle a, b, c \ | \ a^q = b^p = c^2 = 1, b^{-1}ab = a^r, ac = ca, \ bc = cb\rangle \quad (r^p \equiv 1, r \not\equiv 1 \pmod{q})$$ であるが, $x = bc$ とおくと $x^p = c, x^{p + 1} = b, x^{2p} = 1$ だから $\langle b, c \rangle = \langle x \rangle$ で $$\begin{align} x^{-1}ax &= (bc)^{-1}a(bc) \\ &= c^{-1}(b^{-1}ab)c \\ &= c^{-1}a^r c \\ &= (c^{-1}ac)^r \\ &= a^r \end{align}$$ なので $$G = \langle a, x \ | \ a^q = x^{2p} = 1, x^{-1}ax = a^r \rangle \quad \ (r^p \equiv 1, r \not\equiv 1 \pmod{q}).$$
$\varphi(b), \varphi(c)$ がともに非自明のとき. $r$ は上記の通りとする. $$G = \langle a, b, c \ | \ a^q = b^p = c^2 = 1, b^{-1}ab = a^r, c^{-1}ac = a^{-1}, \ bc = cb\rangle \quad (r^p \equiv 1, r \not\equiv 1 \pmod{q})$$ であるが, 上記と同様に $x = bc$ とおくと $$\begin{align} x^{-1}ax &= (bc)^{-1}a(bc) \\ &= c^{-1}(b^{-1}ab)c \\ &= c^{-1}a^r c \\ &= (c^{-1}ac)^r \\ &= (a^{-1})^r \\ &= a^{-r} \end{align}$$ なので $$G = \langle a, x \ | \ a^q = x^{2p} = 1, x^{-1}ax = a^{-r} \rangle \quad \ (r^p \equiv 1, r \not\equiv 1 \pmod{q}).$$
$$K = \langle b, c \ | b^p = c^2 = 1, c^{-1}bc = b^{-1} \rangle$$ とおく. このとき $$\begin{align} \varphi(b)^{-1} &= \varphi(b^{-1}) \\ &= \varphi(c^{-1}bc) \\ &= \varphi(c^{-1})\varphi(b)\varphi(c) \\ &= \varphi(c)^{-1}\varphi(b)\varphi(c) \\ &= \varphi(b) \end{align}$$ なので, 位数の関係から $\varphi(b)$ は常に自明となる. 従って $\varphi(c)$ が非自明な場合だけが問題となるが, 簡単な考察でそれは $D_{2pq}$ に同型となることがわかる($\langle a, b \rangle \cong \langle ab \rangle \cong C_{pq}$ への $c$ の作用を考えよ).