これは 日曜数学 Advent Calendar 2020 の 24 日目の記事です.
数年前に偶然見つけた, 三角形についてのとある共線定理と, Simson 線との関係性についてご紹介します.
まずは三角形 ABC とその外接円, 外接円上に点 D を, また, 平面上に任意の点 E を取ります. 点 E の位置は三角形や外接円の外部であっても問題ありません.
直線 AE と BC の交点を F, 直線 BE と AC の交点を G, 直線 CE と AB の交点を H とします.
直線 DF, DG, DH と外接円の交点をそれぞれ K, L, M とします(作図ソフトの仕様上, I, J はラベリング出来ないため飛ばしています).
直線 AK と BC の交点を N, 直線 BL と AC の交点を O, 直線 CM と AB の交点を P とします.
N, O, P は共線です. これをあか☆ねこ線(仮称)と名付けました.
私はふとした出来心から, あることを調べてみようと思い立ちました. まず, 先ほどの結論図に Simson 線(オレンジ色)を追加してみます.
あか☆ねこ線(仮称)と Simson 線の交点を T として, D が外接円上を動く時の T の軌跡(黒色)を求めてみました.
何となく 3 次曲線っぽい雰囲気がないですか ?
上記と同じような作図を, 射影幾何学的に考えて「E が無限遠直線上にある」と考えて, 同じように作図してみました. 点 E を取る代わりに A を通る直線を 1 本決めて, その直線に平行で B, C を通る直線を引きます. 以降の作図手順は同様です(画像では任意の点 E を取らなかったことで点のラベリングがずれていますが, 作図ソフトの仕様につきご了承ください).
やはり 3 次曲線のようなものが現れました.
上記結論について, 私は詳しくは調べていないので, 既知のものを私が偶然発見しただけなのか, あるいはこれまで知られてこなかった新しい共線定理なのかはわかりません. 仮に既知のものだったとしても, 何の参考文献もなしにこれを自力で発見できたことは, 望外の喜びでした. 数学的な証明はきちんとしていませんが, 今回作図に用いた Cindellera がこれは共線であると教えてくれました. 何よりも, このような幾何学的現象を調べてみたいと思わせてくれたのは蛭子井博孝先生の影響でもあります. 私を幾何学の世界へと誘ってくださった蛭子井先生への感謝を込めて, 今回は幾何学をテーマに, 自力で偶然発見した共線定理を紹介させていただきました.
蛭子井先生のサイト : 心の湧き水 | 思考とは何かを問い続けて
(サイト名は時々変わるようなので, その辺りはご了承ください)
Simson 線との交点の軌跡が 3 次曲線のような雰囲気を出しているのは, 何となくそうなるような気がします. おそらく, この曲線を決定する 9 個の点があるのだと思います(3 次曲線は, 9 点を通るものが一意に決まります).
この件に関して情報をお持ちの方, 興味を持たれた方は, ご連絡をお待ちしております.
Twitter : @math_neko
赤猫堂本舗「数学に関するよしなしごと」へ(鋭意建設中)