用語について

既にいくつかの用語を定義を述べずに使ってしまっているが, この項で改めて定義を述べる. まだ使っていない用語についても述べる.

可換(図式)

射の合成 $a \to b \to d$ と $a \to c \to d$ が等しいことを, 「(以下の)図式が可換である」という表現をする. $$\begin{CD} a @>>> b \\ @VVV @VVV \\ c @>>> d \end{CD}$$

モノ射

$f \colon a \to b$ がモノ射であるとは, $g, h \colon c \to a$ に対して $$f \circ g = f \circ h \Longrightarrow g = h$$ が成り立つことを言う.

エピ射

$f \colon a \to b$ がエピ射であるとは, $g, h \colon b \to c$ に対して $$g \circ f = h \circ f \Longrightarrow g = h$$ が成り立つことを言う.

忠実

函手 $F \colon C \to D$ が忠実であるとは, 射 $f_1, f_2 \colon c \to c'$ について $Ff_1 = Ff_2$ ならば $f_1 = f_2$ となることを言う.

充満

函手 $F \colon C \to D$ が充満であるとは任意の $c, c' \in \mathcal{O}(C)$ と任意の射 $g \colon Fc \to Fc'$ について $Tf = g$ となる射 $f \colon c \to c'$ が存在することを言う.

始対象

$i \in \mathcal{O}(C)$ が始対象であるとは, 任意の $a \in \mathcal{O}(c)$ に対して $i \to a$ となる射がただ一つ存在するものをいう.

終対象

$j \in \mathcal{O}(C)$ が終対象であるとは, 任意の $a \in \mathcal{O}(c)$ に対して $a \to j$ となる射がただ一つ存在するものをいう.

双対圏

圏 $C$ の射の集まりを $\mathcal{M}(C)$, 合成の「定義域」を $\mathcal{C}(C) \ (\subset \mathcal{M}(C) \times \mathcal{M}(C))$ とするとき

• $\mathcal{M}(C^\mathrm{op}) = \mathcal{M}(C)$
• $\mathcal{C}(C^\mathrm{op}) = \mathcal{C}(C)^{-1} \ = \{ (f, g) | (g, f) \in \mathcal{C}(C) \}$
• 合成 $\circ^\mathrm{op} \colon \mathcal{C}(C^\mathrm{op}) \to \mathcal{M}(C^\mathrm{op})$ は $(f, g) \mapsto g \circ f$

とするような圏 $C^\mathrm{op}$ を $C$ の双対圏という. $C^\mathrm{op}$ において $f^\mathrm{op} \colon a \to b$ とは $C$ において $f \colon b \to a$ となることである. 一般的な圏で成り立つ諸概念は双対圏でも成り立つが, それを元の圏の言葉に書き直したものが双対概念である. 例えば, 上記のモノ射とエピ射, 始対象と終対象は互いに他方の双対概念である. 自分自身と双対であるような概念は自己双対であるという.

なお, 圏 $C$ から圏 $D$ への, いわゆる「反変函手」は, 圏 $C^\mathrm{op}$ から圏 $D$ への函手と考えるので, 本稿では「反変函手」という用語は使わない.

同型射

$f$ が同型射であるとは, $f \circ g$ と $g \circ f$ がともに定義されてかつ恒等射となるような $g$ が存在することを言う. 同型射は自己双対概念である. (小さい)集合の全単射と違い, モノ射かつエピ射であっても同型射とは限らない. $g$ は $f$ の逆射であるという.

自然同型

$\alpha \colon F \stackrel{\bullet}{\to} G \colon C \to D$ を自然変換とするとき, $C$ の各対象 $a$ に対して $\alpha(a)$ が同型射であるとき, $\alpha$ は自然同型であると言う. $\alpha$ が自然同型であるとき $\alpha^{-1}(a) = \alpha(a)^{-1}$ とすれば $\alpha^{-1}$ は垂直合成に関して $\alpha$ の逆射である.

全ての圏からなる圏

正式な用語ではないが, ここで解説をしておく.

Zermelo-Fraenkel 公理系において考える場合, 「全ての圏からなる圏」というものを考えることはできない. (言わば「圏論版」の) Russell の逆理が起こるためである. ただし, 参考文献 [CWM] では「メタ圏」(metacategory)という概念が紹介されており,「全ての圏からなるメタ圏」を考えることはできるとしている. メタ圏の集合論的翻訳が圏である.

参考文献 [BCT] では圏論的な集合論の公理系を仮定しているため,「全ての圏からなる圏」も考慮している. 圏論的な集合論の公理系については以下を参照.

Tom Leinster : Rethinking set theory (2012)

なお「全ての 小圏 からなる圏」はいずれの場合でも考慮できる.

戻る