双対双圏, 余双圏

双圏については, 二通りの双対の取り方がある. 1-射について双対を取るか, 2-射について双対を取るかである. 本稿では便宜上, 1-射について双対を取るものを「双対双圏」, 2-射について双対を取るものを「余双圏」と呼ぶことにする(これは正式な用語ではない).

双対双圏

双圏 $\mathcal{B}$ に対して $\mathcal{B}^\mathrm{op}$ を以下のように定義する.

• $\mathrm{Ob}(\mathcal{B}^\mathrm{op}) := \mathrm{Ob}(\mathcal{B})$
• $\mathcal{B}^\mathrm{op}(a, b) := \mathcal{B}(b, a)$
• 函手 $C_{abc}^\mathrm{op} \colon \mathcal{B}^\mathrm{op}(b, c) \times \mathcal{B}^\mathrm{op}(a, b) \to \mathcal{B}^\mathrm{op}(a, c)$ を $$C_{abc}^\mathrm{op} := C_{cba} \colon \mathcal{B}^\mathrm{op}(b, c) \times \mathcal{B}^\mathrm{op}(a, b) = \mathcal{B}(b, a) \times \mathcal{B}(c, b) \to \mathcal{B}(c, a) = \mathcal{B}^\mathrm{op}(a, c)$$ で定める.

• 自然同型 $\alpha^\mathrm{op}, \lambda^\mathrm{op}, \rho^\mathrm{op}$ は下図で定める.

  

  

コヒーレンス条件は各自書き下してみよ. これは双圏になる. 本稿では「双対双圏」と呼ぶことにする.

余双圏

双圏 $\mathcal{B}$ に対して $\mathcal{B}^\mathrm{co}$ を

• $\mathrm{Ob}(\mathcal{B}^\mathrm{co}) := \mathrm{Ob}(\mathcal{B})$
• $\mathcal{B}^\mathrm{co}(a, b) := \mathcal{B}(a, b)^\mathrm{op}$

で定めても別の双圏ができる. 本稿では「余双圏」と呼ぶことにする.

$\mathcal{B}^\mathrm{co}$ が双圏であるから $\mathcal{B}^\mathrm{coop} := (\mathcal{B}^\mathrm{co})^\mathrm{op}$ も双圏(双対余双圏?)である.

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