自然変換について

定義

公理 1

各 $a \in \mathcal{O}(C)$ に対して $\alpha(a) \in D(F(a), G(a))$.

公理 2

$f \colon a \to b$ に対して以下の図は可換である. $$\begin{CD} F(a) @>{F(f)}>> F(b) \\ @V{\alpha(a)}VV @VV{\alpha(b)}V \\ G(a) @>>{G(f)}> G(b) \end{CD}$$

自然変換の例

1. 圏 $C$ の対象 $a$ を函手 $a \colon \mathbf{1} \to C$ と同一視するとき, 射 $f \colon a \to b$ は自然変換とみなせる.

   $$\begin{CD} a(*)= a @>{1_a = a(*)}>> a = a(*) \\ @V{f = f(*)}VV @VV{f = f(*)}V \\ b(*) = b @>>{1_b = b(*)}> b = b(*) \end{CD}$$

2. 体 $k$ 上のベクトル空間と線形写像からなる圏 $\mathbf{Vect}_k$ において, ベクトル空間 $V$ に双対の双対 $V^{**}$ を対応させる函手 $$(-)^{**} \colon \mathbf{Vect}_k \to \mathbf{Vect}_k$$ が存在する. 線形写像 $\alpha(V) \colon V \to V^{**}$ を $$v \mapsto v^{**} = (f \mapsto f(v))\quad (f \in V^*)$$ で定めるとき, $$\alpha \colon I \stackrel{\bullet}{\to} (-)^{**} \colon \mathbf{Vect}_k \to \mathbf{Vect}_k$$ となる ($I$ は恒等函手).

   $$\begin{CD} V @>{g}>> W \\ @V{\alpha(V)}VV @VV{\alpha(W)}V \\ V^{**} @>>{g^{**}}> W^{**} \end{CD}$$

   有限次元ベクトル空間の圏 $\mathbf{FDVect}_k$ (実はこれは $\mathbf{Vect}_k$ の充満部分圏である)においてはこれが自然同型であることは有名な事実である.

自然変換の合成

自然変換の合成には二つの方法がある.

垂直合成

$\alpha \colon F \stackrel{\bullet}{\to} G \colon C \to D, \ \beta \colon G \stackrel{\bullet}{\to} H \colon C \to D$ を自然変換とするとき, $$(\beta \circ \alpha)(a) = \beta(a) \circ \alpha(a) \in D(F(a), H(a))$$ と定義すると, 新しい自然変換 $\beta \circ \alpha \colon F \stackrel{\bullet}{\to} H$ が定義できる. これを垂直合成という.

$$\begin{CD} F(a) @>{F(f)}>> F(b) \\ @V{\alpha(a)}VV @VV{\alpha(b)}V \\ G(a) @>{G(f)}>> G(b) \\ @V{\beta(a)}VV @VV{\beta(a)}V \\ H(a) @>>{H(f)}> H(b) \end{CD}$$

水平合成

$\alpha \colon F_1 \stackrel{\bullet}{\to} F_2 \colon C \to D, \ \beta \colon G_1 \stackrel{\bullet}{\to} G_2 \colon D \to E$ を自然変換とするとき, $$(\beta \star \alpha)(a) = \beta(F_2(a)) \circ G_1(\alpha(a)) \ \in E((G_1 \circ F_1)(a), (G_2 \circ F_2)(a))$$ と定義すると, 新しい自然変換 $\beta \star \alpha \colon G_1 \circ F_1 \stackrel{\bullet}{\to} \ G_2 \circ F_2$ が定義できる. これを水平合成という.

$$\begin{CD} (G_1 \circ F_1)(a) @>{(G_1 \circ F_1)(f)}>> (G_1 \circ F_1)(b) \\ @V{G_1(\alpha(a))}VV @VV{G_1(\alpha(b))}V \\ (G_1 \circ F_2)(a) @>{(G_1 \circ F_2)(f)}>> (G_1 \circ F_2)(b) \\ @V{\beta(F_2(a))}VV @VV{\beta(F_2(b))}V \\ (G_2 \circ F_2)(a) @>>{(G_2 \circ F_2)(f)}> (G_2 \circ F_2)(b) \end{CD}$$

なお $$(\beta \star \alpha)(a) = G_2(\alpha(a)) \circ \beta(F_1(a)) \ \in E((G_1 \circ F_1)(a), (G_2 \circ F_2)(a))$$ と定義しても同じである. $$\begin{CD} (G_1 \circ F_1)(a) @>{(G_1 \circ F_1)(f)}>> (G_1 \circ F_1)(b) \\ @V{\beta(F_1(a))}VV @VV{\beta(F_1(b))}V \\ (G_2 \circ F_1)(a) @>{(G_2 \circ F_1)(f)}>> (G_2 \circ F_1)(b) \\ @V{G_2(\alpha(a))}VV @VV{G_2(\alpha(b))}V \\ (G_2 \circ F_2)(a) @>>{(G_2 \circ F_2)(f)}> (G_2 \circ F_2)(b). \end{CD}$$ 実際, $\beta$ の自然性から $$\begin{CD} (G_1 \circ F_1)(a) @>{G_1(\alpha(a))}>> (G_1 \circ F_2)(a) \\ @V{\beta(F_1(a))}VV @VV{\beta(F_2(a))}V \\ (G_2 \circ F_1)(a) @>{G_2(\alpha(a))}>> (G_2 \circ F_2)(a) \end{CD}$$ は可換だからである.

垂直合成と水平合成の関係

$\alpha_1 \colon F_0 \stackrel{\bullet}{\to} F_1 \colon C \to D, \ \alpha_2 \colon F_1 \stackrel{\bullet}{\to} F_2 \colon C \to D, \ \beta_1 \colon G_0 \stackrel{\bullet}{\to} G_1 \colon D \to E, \ \beta_2 \colon G_1 \stackrel{\bullet}{\to} G_2 \colon D \to E$ を自然変換とするとき, $$(\beta_2 \circ \beta_1) \star (\alpha_2 \circ \alpha_1) = \ (\beta_2 \star \alpha_2) \circ (\beta_1 \star \alpha_1)$$ が成り立つ.

函手圏

圏 $C$ から圏 $D$ への函手全体は自然変換(とその垂直合成)を射の集まりとしてまた圏となる. これはしばしば $[C, D]$ と書かれ, 函手圏と呼ばれる.

圏同値

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