1-圏のおさらい

いささかくどいが, 1-圏の定義について別の視点からおさらいをしておく.

$C$ が圏であるとは, $s, t \colon C \to C$ と $$\circ \colon \{ (x, y) | sx = ty \} \ni (x, y) \mapsto x \circ y \in C$$ の組 $(\circ, s, t)$ で以下の公理を満たすものであった.

• $s(x \circ y) = sy, t(x \circ y) = tx.$
• $x \circ sx = x, tx \circ x = x.$
• 左辺または右辺が定義されていれば $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z).$
• $ssx = sx = tsx, ttx = tx = stx.$

この文脈において, $x \in C$ が恒等射であることは $x = sx$ と同値である. また $x = tx$ とも同値である.

また, 函手 $F \colon C \to D$ とは $$sF = Fs, tF = Ft \colon C \to D$$ なる写像で, $x \circ y$ が定義されているとき $F(x \circ y) = Fx \circ Fy$ を満たすものである.

これらの公理系によってここまでの議論を全て読み替えることは, 各自に任せたい.

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